10. Geometrie
10.1 Winkel, Dreieck, Viereck
10.2 Strahlensätze
10.3 Kreis
10.4 Körperberechungen
10.1 Winkel, Dreieck, Viereck
Winkel, Dreieck, Viereck
Winkel:
Nebenwinkel ergeben zusammen 180°: α+β=180°
Scheitelwinkel sind gleich groß: δ=ε.
Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß:
α=β und τ=ε.
Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß:
α=γ und δ=ε.
Die Summe der Innenwinkel im Dreieck ist 180°.
Die Summe der Innenwinkel im n-Eck ist (n-2)*180° mit
n>3.
Im Dreieck ist ein Außenwinkel genauso groß wie die
Summe der beiden anliegenden Innenwinkel.
Dreieck
Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden
sich in einem Punkt M. Er ist der Mittelpunkt des Umkreises.
Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden
sich in einem Punkt J. Er ist der Mittelpunkt des Innenkreises.
Die drei Höhen eines Dreiecks oder ihre
Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt H.
Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden
sich in einem Punkt S. Der Punkt S heißt Schwerpunkt des Dreiecks. Er teilt
jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1 .
(Bilder zu den einzelnen Bezeichnungen werden noch kommen,
wir um bitten um Verständnis.)
Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in
- den Länge der drei Seiten (SSS)
- der Länge einer Seite und den Beträgen der beiden
anliegenden Winkel (WSW)
- den Längen zweier Seiten und im Betrag des Winkels, der
von ihnen eingeschlossen wird (SWS)
- den Längen zweier Seiten und im Betrag des Winkels, der
der längeren Seiten gegenüber liegt (SSWg)
(Bilder zu den einzelnen Bezeichnungen werden noch kommen,
wir um bitten um Verständnis.)
Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel
gleich groß.
Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so ist das
Dreieck gleichschenklig.
Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich
groß.
Sind in einem Dreieck alle Winkel gleich groß, so ist das
Dreieck gleichseitig.
(Bilder zu den einzelnen Bezeichnungen werden noch kommen,
wir um bitten um Verständnis.)
Rechtwinkliges Dreieck und Satzgruppe des Pythagoras
Satz des Thales:
Ist AB der Durchmesser eines Kreises und liegt C auf diesem
Kreis, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig.
Die Umkehrung des Satzes ist:
Ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, so liegt C auf dem
Kreis mit dem Durchmesser AB.
Satz des Pythagoras:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und
der Hypotenuse c ist:
a2+b2=c2
Die Umkehrung des Satzes ist:
Wenn für die Seiten a, b, c eines Dreiecks ABC ist:
a2+b2=c2 , dann ist das
Dreieck bei C rechtwinklig.
(Bilder zu den einzelnen Bezeichnungen werden noch kommen,
wir um bitten um Verständnis.)
Kathetensatz und Höhensatz des Euklids:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b,
der Hypotenuse c, den Hypotenusenabschnitten p und q und der Höhe h ist:
b2=c*q und a2=c*p (Kathetensatz des
Euklid)
h2=p*q (Höhensatz des Euklid)
Viereck
In dem Schema sind die Vierecke nach der Anzahl der zur
Konstruktion erforderlichen Bestimmungsstücke geordnet, sie nimmt von oben nach
unten ab. Dagegen nimmt die Anzahl der speziellen Eigenschaften von oben nach
unten zu.
(Bild aus dem Schulbuch Mathematik 10 westermann-Verlag)
Flächenberechnung von Dreieck und Vierecken:
Hier alle Formeln, mit denen man den Flächeninhalt von
Dreiecken und verschiedenen Vierecken berechnen kann.
Dreieck
Parallelogramm
Raute
Trapez
Drachenviereck
10.2 Strahlensätze
Strahlensätze
(Achtung: Die Buchstaben auf dem
Bild stimmen nicht mit den Buchstaben im Text überein!)
Erster Strahlensatz:
Wenn zwei Strahlen, die von einem Punkt Z ausgehen, von zwei
parallelen Geraden geschnitten werden, dann ist:
Die Abschnitte auf dem einen Strahl und die entsprechenden
Abschnitte auf dem anderen Strahl haben das gleiche Streckenverhältnis.
ZB/ZA=ZC/ZD und ZB/AB=ZC/DC
Zweiter Strahlensatz:
(Achtung: Die Buchstaben auf dem
Bild stimmen nicht mit den Buchstaben im Text überein!)
Wenn zwei Strahlen, die von einem Punkt Z ausgehen, von zwei
parallelen Geraden geschnitten werden, dann ist:
Die Abschnitte auf einem Strahl und die entsprechenden
Abschnitte auf den Parallelen haben das gleiche Streckenverhältnis.
ZB/ZA=CB/DA und ZC/ZD=CB/DA
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen in:
- den Verhältnissen der Längen entsprechender Seiten
- den Verhältnissen der Längen zweier entsprechender Seiten
und im Betrag des Winkels, der von ihnen eingeschlossen wird
- den Verhältnissen der Längen zweier entsprechender Seiten
und im Betrag des Winkels, der der längeren Seiten gegenüber liegt.
10.3 Kreis
Formeln für Berechnungen am Kreis
Winkel am Kreis:
10.4 Körperberechungen
Hier Formel um Volumen, Oberfläche, ... von den
verschiedensten Körpern zu berechne.
Formel zur Berechnung
Würfel:
V=a2
O=6a2
e (Diagonale)=a*√3
Quader:
Prisma:
Zylinder:
V=πr2h
M=2πrh
O=2πr(r+h)
Pyramide:
Kegel:
V=
πr2h
M=πrs
O=πr(r+s)
Pyramidenstumpf:
Kegelstumpf:
M=πs(r1+r2)
O=πs(r1+r2)+ π(r21+r22)
Kugel:
Kugelausschnitt:
Kugelabschnitt:
Flächeninhalt der Kugelkappe : 2πrh
© klassenarbeiten.de [Autor: Florian Modler]
