Mathematik – Buch / 4.
Trigonometrie
-403-
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
1. Stelle eine Tabelle auf mit den Werten von 
, sin() und cos()
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sin()
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cos()
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0°
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0
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1
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10°
|
0,174
|
0,985
|
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20°
|
0,342
|
0,939
|
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30°
|
0,5
|
0,866
|
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40°
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0,643
|
0,766
|
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50°
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0,766
|
0,643
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60°
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0,866
|
0,5
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70°
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0,939
|
0,342
|
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80°
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0,985
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0,174
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90°
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1
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0
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Man stellt fest, dass bestimmte Werte gleich sind, daraus
kann man Beziehungen entwickeln, die auf der nächsten Seite dargestellt sind...
J
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Mathematik – Buch / 4.
Trigonometrie
-404-
Beziehungen:
1.
Hier mal eine Tabelle, mit der ihr euch die wichtigsten
Werte von sin und cos merken könnt.
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sin0°
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cos90°
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sin30°
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cos60°
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sin45°
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cos45°
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sin60°
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cos30°
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sin90°
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cos0°
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Mathematik – Buch / 4. Trigonometrie -405-
Trigonometrie
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
1.
a) Berechne sin() und cos(90°-) für =0°, 10°, ..., 90°. Was
stellst du fest?
b) Verfahre ebenso mit cos() und sin(90°-). Welche Beziehung
findest du hier?
2. Berechne 1/tan(a) und tan(90°-) für =10°, 20°, ..., 80°
und vergleiche jeweils beide Werte miteinander.
3. Bestimme cos(a) ohne Taschenrechner für
einen Winkel a mit
a) sin(a)=8/25 b) sin(a)=5/14 c)
sin(a)=0,75 d) sin(a)=0,4 e) sin(a)=0,25 √5
4. Bestimme sin(a) ohne Taschenrechner für
einen Winkel mit
a) cos(a)=0,8 b) cos(a)= ¼ √7
c) cos(a)=0,75√8 d) cos(a)=0,5 e) cos(a)=6/5
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Mathematik – Buch / 4.
Trigonometrie
-406-
Lösungen:
1.
a)
sin²(a)+cos²(a)=1 |-sin²(a)
cos²(a)=1-sin²(a)=1-(3/5)²=1-9/25=16/25
cos²(a)=16/25 |√
cos(a)=4/25
b)
tan(a)=sin(a)/cos(a)=tan(a)=3/5/4/5= ¾
2.
a)
tan²(a)/1+tan²(a)=sin²(a)/cos²(a)/1+sin²(a)/cos²(a)=sin²(a)/cos²(a)+sin²(a)=sin²(a)/1=sin²(a)
b)
sin²(a)=1-cos²(a) |√
sin(a)=√1-cos²(a)
3.
a)
sin²(a)+cos²(a)=1 |-sin²(a)
cos²(a)=1-sin²(a)=1-(8/25)²=1-64/125=9/25
cos²(a)=9/25 |√
cos(a)=3/5
b)
sin²(a)+cos²(a)=1 |-sin²(a)
cos²(a)=1-sin²(a)=1-(5/14)²=1-25/196=171/196
cos²(a)=171/196 |√
cos(a)=√171/196
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Mathematik – Buch / 4. Trigonometrie
-407-
4.
a)
sin²(a)+cos²(a)=1 |-cos²(a)
sin²(a)=1-cos²(a)=1-(0,8)²=1-0,64=0,36
sin²(a)=0,36 |√
sin(a)=0,6
b)
sin²(a)+cos²(a)=1 |-cos²(a)
sin²(a)=1-cos²(a)=1-( ¼
√7)²=1-1/16*7=1-7/16=9/16
sin²(a)=9/16 |√
sin(a)= ¾
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Mathematik – Buch / 4.
Trigonometrie
-408-
Aufgaben
zu Trigonometrie
5. Gegeben ist sin(a)=2/7√6. Bestimme ohne Taschenrechner.
a) cos(a) b) tan(a) c) sin(90°-a)
d) tan(90°-a)
6.
Vereinfache.
a) tan(a)*cos(a) b) sin(a)/tan(a) c)
sin³(a)+sin(a)*cos²(a)
d) 1/tan(a)*cos(a) e) √1+cos(a)
√1-cos(a) f) sin(a)+cos(a)/tan(a)
g) sin4(a)-cos4(a)
h) tan(a)/sin(a)-tan(a)*sin(a) i) cos(a)/1-sin(a)-1/cos(a)
7.
a) Drücke tan(a) aus durch sin(a) (durch
cos(a)).
b) Berechne tan(a) mit der passenden Formel aus a), wenn
sin(a)=12/13 ist
8.
a) Nimm das Bild zu Hilfe und rücke sowohl sin(a) als
auch cos(a) durch tan(a) aus.
b) Berechne sin(a), wenn tan(a)=2 1/5 ist
c) Berechne cos(a), wenn tan(a)=1/6√3 ist.
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Mathematik – Buch / 4.
Trigonometrie -409-
Lösungen:
5.
a)
5/7
b)
2/5√6
c)
5/7
d)
5/2√6
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Mathematik –Buch / 4.
Trigonometrie -410-
6.
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Mathematik – Buch / 4.
Trigonometrie
-411-
7.
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Mathematik – Buch / 4.
Trigonometrie
-412-
8.
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