Mathematik – Buch / 8. Gleichungen und Ungleichungen                                             -735-

Systeme von linearen Gleichungen

 

8.8 Verschiedene Verfahren zur Bestimmung der Lösungen

8.8.1 Gleichsetzungsverfahren

8.8.2. Einsetzungsverfahren

8.8.3 Additionsverfahren

 

Zwei durch und verbundene Gleichungen in zwei Variablen, wie zum Beispiel 7x+9y=11 und 5x-4y=8, bilden ein System von zwei linearen Gleichungen. Entsprechend gibt es Systeme von drei (vier, …) Gleichungen.

Lösungsverfahren für Systeme von zwei linearen Gleichungen...

Beispiel:

 

(I) 45x+75y=58,5 und (II) 20x+40y=29 und (I) x=3y-2 und (II) 4x-9y=1

 

 

Gleichsetzungsverfahren	Einsetzungsverfahren
1. Schritt: Beide Gleichungen nach y auflösen (I) y=-0,6x+0,78 (II) y=-0,5x+0,725	1. Schritt: Gleichung (I) nach c auflösen. x=3y-2
2. Schritt: Beide Terme, die x enthalten, gleichsetzen. -0,6x+0,78=-0,5x+0,725	2. Schritt: Den so erhaltenen Term für x in Gleichung (II) einsetzen. 4(3y-2)-9y=1    12y-8-9y=1   |+8               3y=9    | :3                   y=3
3. Schritt: Lösung bestimmen. x=0,55	3. Schritt: Lösung bestimmen. x=33-2=9-2=7
4. Schritt: Die gefundene Zahl für x in die Gleichung -0,6x+0,78=-0,5x+0,725    |+0,6x               0,78=0,1+0,725       |-0,725               0,055=0,1x                |10                      x=0,55
5. Schritt: Lösungsmenge angeben. L={(0,55; 0,45)}
6. Schritt: Probe an den Ausgangsgleichungen ausführen. Linke Seite:      Rechte Seite: (I) 0,45=-0,60,55+0,78 (II) 0,45=-0,50,55+0,725

 

Das Additionsverfahren führen wir an einen System von drei linearen Gleichungen vor. Das Verfahren ist auch bei Systemen von zwei und mehr als drei Gleichungen sinnvoll anwendbar.

 

Beispiel:

 

(I)  x-3y+z=12

(II) 2x+2y-6z=-8

(III) –3x+y+z=-24

 

Man formt das Gleichungssystem auf Dreiecksgestalt um:

 

                        (I)       x-3y+z=12

2 (I)-(II)       (II’)       -8y+8z=32

3 (I)+(III)    (III’)       -8y+4z=12

 

 

                         (I)        x-3y+z=12

                       (II’)        -8y+8z=32

                     (III’’)                4z=20

 

Das Gleichungssystem hat eine Dreiecksform.

Wie beenden die Umformungen.

Jetzt können wir schrittweise die Zahlen berechnen, die für x, y, z einzusetzen sind.

Aus der Gleichung (III’) erhalten wir:      

z=5

Einsetzen in Gleichung (II’)    

-8y+40=32

        -8y=-8

            y=1

Einsetzen in Gleichung (I) ergibt:

x-3+5=12

        x=10

 

Das Lösungstripel ist (10; 1; 5), also L={(10; 1; 5)}.

Probe nicht vergessen!

 

 

 

 

 

 

© klassenarbeiten.de [Autor: Florian Modler]