Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-557-
Umkehrung des 1. Strahlensatzes
2 Strahlen vom Punkt Z ausgehend:
Oberer Strahl: ZC=4 cm; ZC’=6 cm
Unterer Strahl: ZB=8 cm; ZB’=12 cm
Untersuche:
ZB und ZC
ZB’ ZC’
8_ 4_
12 6
2 = 2 gleiches
Streckenverhältnis!
3 3
ZB = ZC
ZB’ ZC’
Lage von BC und B’C’ zu einander:
Die beiden Strecken sind parallel. Parallelität!
Die Umkehrung des 1. Strahlensatzes gilt! Dies haben wir
eben oben bewiesen!
Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-558-
Die Umkehrung des
ersten Strahlensatzes lautet:
Zwei Strahlen, die von
einem Punkt Z ausgehen, werden von zwei Geraden geschnitten. Wenn die
Abschnitte auf dem einem Strahl und die entsprechenden Abschnitte auf dem
anderen Strahl das gleiche Streckenverhältnis haben, dann sind die beiden
Geraden parallel.
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-559-
Umkehrung des 2. Strahlensatzes
Ihr fragt euch mit Sicherheit, ob es auch eine Umkehrung
des 2. Strahlensatzes gibt, diese Frage wird euch jetzt beantwortet:
B’C’ = ZB’
BC ZB
B’C’ = ZC’
BC ZC
Die Strecken sind nicht parallel.
Die Umkehrung des 2. Strahlensatz gibt es nicht.
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-560-
Aufgaben:
1. Eine Erbse von 6 mm Durchmesser verdeckt gerade den
384000 km entfernten Vollmond, wenn man sie 66 cm vom Auge entfernt hält.
Fertige eine Skizze an und berechne den Mondradius.
Lösung:
x__ = 66 cm____ |*3 mm
3 mm 384000 km
x=1980 mm
384000 km
x=1745,45 km
3 mm = 66 cm____ |
x
x 384000 km
3 mm = 66 mmx__ |*38400000000 mm
384000 km
115200000000 mm=66 mmx |:66 mm
x=1745454545,45 mm
x=1745,45 km
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie -561-
2) Forstbeamte benutzen das sogenannte Försterdreieck zur
schnellen Bestimmung der Höhe eines Baumes. Erkläre den Gebrauch mit Hilfe des
Strahlensatzes.
Sie wenden den 2. Strahlensatz an. Sie kennen die Längen der
1. Parallele und sie kennen die Längen der Entfernung und die Länge vom 2.
Strahl. So können sie den 2. Strahlensatz wenden.
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Mathematik – Buch / 6. Geometrie
-562-
1) Schreibe alle Streckenverhältnisse auf, die bei den
beiden Strahlensätzen gelten.
Lösung:
Man muss zuerst die Punktspiegelung durchführen.
1. Strahlensatz:
z = x
a b
z-a = x-b
a b
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-563-
2. Strahlensatz:
y = z
c a
y = x
c b
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-564-
3) Stelle alle Verhältnisse der Strecken mit Hilfe der
Strahlensätze auf und berechne alle fehlenden Strecken.
Diese Größen müssen gegeben sein. Außer h
Lösung:
2. Strahlensatz:
h = z
b a
a=25 cm
b=20 cm
z=20 m
h=…gesucht…
g=1,8 m
2000 = h |20
25 20
h=16
16 m+1,8 m=17,8 m
17,8 m=g+h
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie -565-
Berechne die Strecken A’C und A’B’.
Lösung:
A’B’ = 2,5 |*3,2
3,2 4
A’B’ = 2
A’C’ = 2,5 |*2,4
2,4 4
A’C’ = 1,5
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-566-
2) Die untergehenden Sonne scheint durch ein
Schlüsselloch auf eine 6 m dahinter stehende Wand (Lochkameraabildung).
Wie groß ist der Durchmesser des kreisrunden Sonnenbildes
der an der Wand?
Abstand Sonne-Erde: 150000000 km
Sonnenradius: 700000 km
Lösung:
x______ = 0,006_____ |700000
700000 150000000
x=0,000028
0,0000282=0,000056
0,56 cm
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