Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-633-
Behauptungen mit Beweisen auf einen Blick:
KONGRUEZNSSÄTZE!
Sätze:
1. Wenn Dreiecke in den Verhältnissen der Längen
entsprechender Winkel übereinstimmen, dann sind sie ähnlich.
Beweis:
Das Verhältnis der Längen entsprechender Seiten sei k. Wir
bilden das Dreieck ABC durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem
Streckfaktor k ab. Das Bilddreiecke bezeichnen wir mit A’B’C’.
Nach der Konstruktion ist a’=k*a=a’’, b’=k*b=b’’ und
c’=b*c=c’’.
Die beiden Dreiecke A’B’C’ und A’’B’’C’’ stimmen in den
Längen entsprechender Seiten überein, sind also nach dem Kongruenzsatz SSS
kongruent. Es gibt also eine Kongruenzabbildung, die das Dreieck A’B’C’ auf das
Dreieck A’’B’’C’’ abbildet.
2. Wenn Dreiecke im Betrag zweier Winkel übereinstimmen,
dann sind sie ähnlich.
Beweis:
Behauptung:
A’’’B’’’C’’’ ist kongruent zu A’’B’’C’’
1. A’’’B’’’=A’’B’’=k*AB
2. a’’’=a’’, ß’’’=ß’’, y’’’=y’’
Kongruenzsatz WSW:
A’’’B’’’C’’’ ist kongruent zu A’’B’’C’’ ist bewiesen.
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie -634-
3. Wenn Dreiecke in den Verhältnissen der Längen zweier
entsprechender Seiten und im Betrag des von diesen Seiten eingeschlossenen
Winkel übereinstimmen, dann sind sie ähnlich.
Beweis:
Behauptung:
A’B’C’ ist kongruent zu A’’B’’C’’
. b’’=b
k; c’’=ck gleiche Seitenlängen
2. a’=a’’, ß’’’=ß’’, y’’’=y’’
Kongruenzsatz SWS:
A’B’C’ ist kongruent zu A’’B’’C’’ ist bewiesen.
4. Wenn Dreiecke in den Verhältnissen der Längen zweier
entsprechender Seiten und im Betrag des Winkels, übereinstimmen, der der
längeren Seiten gegenüberliegt, dann sind sie ähnlich.
Beweis:
Behauptung:
A’B’C’ ist kongruent zu A’’B’’C’’
1. b’’=bk; c’’=ck gleiche Seitenlängen
2. a’=a’’, ß’’’=ß’’, y’’’=y’’
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie -635-
Kongruenzsatz SSWg:
A’B’C’ ist kongruent zu A’’B’’C’’ ist bewiesen.
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Mathematik – Buch / 6. Geometrie
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1. Zeichne 2 Dreiecke mit ABC und A’B’C’ mit c=5 cm,
a=45° b=5 cm und mit
c’=8 cm, a’=45°, b’=8 cm.
a) Berechne k und bestimme das Streckzentrum Z
Berechung von k:
k=c’/c
k=8/5
Bestimmung von dem Zentrum Z:
1. Zuerst verbindet man A mit A’, B mit B’ und C mit C’.
2. Der Schnittpunkt ist Z.
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Geometrie
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1. Berechne k und konstruiere das Streckzentrum Z:
Gegeben:
2 Quadrate.
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie
-638-
Zu Z1:
k=c’/c
k=4/2
k=2
Zu Z2:
k=-2
Seitenlängen bleiben gleich.
a’/a=b’/b=c’/c=|k|: Zentrische Streckung
2. Flächeninhalt
A2=k2A1
A1=4 cm2
A2=16 cm2
A2=422=16 cm2
Dreieck:
A= ½ gh
Quadrat:
A=a2
Rechteck:
A=ab
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Geometrie
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3. Zentrische Streckung von Kreisen
Zeichne einen Kreis mit dem Radius r=2 cm und strecke es mit
dem Streckfaktor k=2.
Vorgehensweise:
1. Möglichkeit:
1. Zuerst zeichnet man den Kreis mit dem Radius r=2 cm und
ein Streckzentrum Z.
2. Dann zeichnet man auf dem Kreis einen Punkt A und den
Radius r ein.
3. Dann streckt man M und A mit dem Streckfaktor k=2.
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Mathematik – Buch / 6.
Geometrie -640-
2. Möglichkeit:
1. Zuerst zeichnet man den Kreis mit dem Radius r=2 cm und
ein Streckzentrum Z.
2. Dann zeichnet man auf dem Kreis einen Punkt und den
Radius r ein.
3. Dann streckt man M mit dem Streckfaktor k=2 und zeichnet
man Gerade durch Z und dem Punkt auf dem Kreis. Dann zeichnet man eine
Parallele zu r durch M. Der Schnittpunkt mit der Geraden ist A’
r2=r’
22=4
r||r’
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