Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -105-

 

 

Vergleich f(x)=x² und f(x)=0,5x²

 

Vergleich von f(x)=x² und f(x)= ½ x²:

 

Gemeinsamkeiten:

 

1. Scheitelpunkt bei (0; 0)

 

2. f(x)>0

 

          Graphen liegen oberhalb der x-Achse

 

3. achsensymmetrisch zur y-Achse

 

4. nach oben geöffnet, nach unten geschlossen

 

 

Unterschiede:

 

1. Graphen von f(x)= ½ x² ist weiter geöffnet

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -106-

 

f(x)=ax²

 

Vermutungen:

 

„weiter geöffnet“ für a<1

 

0<a<1   weiter geöffnet?

-1<a<0  weiter geöffnet?

 

a>1 à verläuft enger?

a<-1 à nach unten offen, nach oben geschlossen

 

 

Beweise:

 

a<-1

 

Für den Graphen der Funktion f(x)=ax² mit a<-1 ist:

 

1. nach unten geöffnet

 

2. je kleiner a, desto enger verläuft die Parabel

 

3. für f(x)=-ax² ist:

es entsteht eine Normalparabel, nach unten geöffnet, unter der x-Achse, Scheitelpunkt (0; 0)

 

4. symmetrisch zur y-Achse

 

5. Graphen unter der x-Achse

 

6. Scheitelpunkt (0; 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -107-

 

a>1

 

Für den Graphen der Funktion f(x)=ax² mit a>1 ist:

 

1. nach oben geöffnet

 

2. je größer a, desto weiter auseinander verläuft die Parabel

 

3. symmetrisch zur y-Achse

 

5. Graphen über der y-Achse

 

6. Scheitelpunkt (0; 0)

 

 

0<a<1

 

Für den Graphen der Funktion f(x)=ax² mit 0<a<1 ist:

 

1. nach oben geöffnet

 

2. je größer a, desto weiter auseinander verläuft die Parabel

 

3. symmetrisch zur y-Achse

 

5. Graphen über der y-Achse

 

6. Scheitelpunkt (0; 0)

 

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-1<a<0

 

Für den Graphen der Funktion f(x)=ax² mit –1<a<0 ist:

 

1. nach oben geöffnet

 

2. je größer a, desto weiter auseinander verläuft die Parabel

 

3. symmetrisch zur y-Achse

 

5. Graphen über der y-Achse

 

6. Scheitelpunkt (0; 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -109-

 

Aufgabe:

 

1) Die Graphen gehören zu der Form f(x)=ax². Bestimme a.

 

Vorgehensweise:

 

1. Zuerst liest man die Koordinaten eines Punktes ab (nicht den Scheitelpunkt wählen).

 

2. Dann berechnet man mit Hilfe der Koordinate a.

 

P (1,5; 1,5) liegt auf der Parabel.

 

a (1,5)²=1,5    |:(1,5)²

           a=2/3

 

 

a)

 

P (1; 0,2) liegt auf der Parabel.

 

a1²=0,2    |:1

        a=0,2

 

b)

 

P (1; 3) liegt auf der Parabel-

 

a1²=3   |:1

      a=3           

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c)

 

P (1; -1,5) liegt auf der Parabel.

 

a1²=-1,5   |:1

        a=-1,5

 

 

d)

 

P (1; -0,7) liegt auf der Parabel-

 

a1²=-0,7   |:1

       a=-0,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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