Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -228-
Symmetrie und Monotonie
1. Symmetrie
1.1 Symmetrie von f(x)=xn
mit n gerade
Der Graph der Funktion f(x)=xn mit n gerade ist
immer achsensymmetrisch zur y-Achse.
1.2 Symmetrie von f(x)=xn
mit n ungerade
Der Graph der Funktion f(x)=xn mit n ungerade ist
immer punktsymmetrisch zum Ursprung.
1.3 Symmetrie von f(x)=xn+c
mit n gerade
Der Graph der Funktion f(x)=xn+c mit n gerade hat
den Scheitelpunkt S (0; c).
Er ist immer achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Graph wird
nur entsprechend dem c bei der y-Achse verschoben.
1.4 Symmetrie von f(x)=xn+c
mit n ungerade
Der Graph der Funktion f(x)=xn+c mit n ungerade
hat den Punktspiegelungspunkt P (0; c).
Er ist immer punktsymmetrisch zum Punkt P (0; c) zur
y-Achse. Der Graph wird nur entsprechend dem c bei der y-Achse verschoben.
1.5 Symmetrie von f(x)=(x+d)n
mit n gerade
Der Graph der Funktion f(x)=(x+d)n mit n gerade
wird entsprechend dem d nach links oder rechts auf der x-Achse verschoben.
Bei positivem d nach links,
bei negativem d nach rechts.
1.6 Symmetrie von f(x)=(x+d)n
mit n ungerade
Der Graph der Funktion f(x)=(x+d)n mit n gerade
wird entsprechend dem d nach links oder rechts auf der x-Achse verschoben.
Bei positivem d nach links,
bei negativem d nach rechts.
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -229-
2. Monotonie
1.7 Monotonie von f(x)=xn
mit n gerade
Der Graph der Funktion f(x)=xn mit n gerade ist
links vom Scheitelpunkt immer
fallend und rechts vom Scheitelpunkt immer steigend. Für
x<0 immer steigend.
Für x>0 immer fallend.
1.8 Monotonie von f(x)=xn
mit n ungerade
Der Graph der Funktion f(x)=xn mit n ungerade ist
immer steigend.
1.9 Monotonie von f(x)=xn+c
mit n gerade
Der Graph der Funktion f(x)=xn+c mit n ist links
vom Scheitelpunkt immer
fallend und rechts vom Scheitelpunkt immer steigend. Für
x<0 immer steigend.
Für x>0 immer fallend.
1.10
Monotonie von f(x)=xn+c mit n ungerade
Der Graph der Funktion f(x)=xn+c mit n ungerade
ist immer steigend
1.11
Monotonie von f(x)=(x+d)n mit n gerade
Der Graph der Funktion f(x)=(x+d)n mit n gerade
ist links vom Scheitelpunkt immer
fallend und rechts vom Scheitelpunkt immer steigend. Für
x<0 immer steigend.
Für x>0 immer fallend.
1.12
Monotonie von f(x)=(x+d)n mit n ungerade
Der Graph der Funktion f(x)=(x+d)n mit n ungerade
ist immer steigend.
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -230-
Beispiele:
1. Beschreibe die Symmetrie der Graphen und die Monotonie
von f.
a) f(x)=x6+6 b) f(x)=x3-7
c) f(x)=2x28
d) f(x)=(x+11)11 e)
f(x)=(x-9)34+7 f) f(x)=-2(x15-3)+7
g) f(x)=-9x26 h)
f(x)=-4(x-11)12+7 i) f(x)=-2(x-5)17+3
2. Zu welcher Geraden sind die Graphen von f symmetrisch?
Begründe deine Antwort.
a) f(x)=x7+5 b) f(x)=-7x3 c)
f(x)=11x22
d) f(x)=(x+12)11 e)
f(x)=(x-15)33+19 f) f(x)=8(x17-5)+2
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -231-
Lösungen:
1.
a) P (1; 0,5)
f(x)=?x3
0,5=?13 |:1
0,5=a
f(x)=0,5x3
b)
f(x)=ax4+b
Bestimmung von a:
P (1; 2,8)
f(x)=ax4+b
Es ist schon mal ein negatives a.
2,8=a*14 |:1
a=2,8
f(x)=2,8x4+3
c)
a) P (1; 0,5)
f(x)=?x3
0,5=?13 |:1
0,5=a
f(x)=0,5x3
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -232-
2..
a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse,.
b) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
c) Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
d) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
e) Der Graph ist achsensymmetrisch zur
Scheitelpunktsgeraden.
f) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
g) Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
h) Der Graph ist achsensymmetrisch zur
Scheitelpunktsgeraden.
i) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
3..
a) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
b) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
c) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
d) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
e) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
f) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt.
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