Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -145-

 

Nullstellen

Ihr fragt euch mit Sicherheit, was eine Nullstelle überhaupt ist oder?

Ganz einfach: Eine Nullstelle ist eine Stelle bei einem Koordinatensystem, wo der Graph die x-Achse schneidet, also y=0 ist. Weiterhin erfahrt ihr hier mehr...

 

Aufgaben:

 

f(x)=ax²+2bx+c

 

 

Klaus: f(x)=-0,04x²+0,756x+1,7

 

Hubert: f(x)=-0,05x²+0,786x+1,7

 

Hilde: f(x)=-0,045x²+0,756x+1,72

 

 

Idee:

 

Bestimmung der Weite durch Setzen von y=0

 

Klaus: Setze f(x)=y=0

 

0=-0,04x²+0,756x+1,7  Quadratische Ergänzung

0=-0,04(x²-18,9x-42,5)

0=-0,04((x-9,45)²-131,8025

0=-0,04(x-9,45)²+5,2721    |-5,2721

-5,2721=-0,04(x-9,45)²           |:(-0,04)

131,8025=(x-9,45)²                      |

                x=20,93052699

                 x=-2,03

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Hubert:

 

0=-0,05x²+0,786x+1,7

0=-0,05(x²-15,72x-34)

0=-0,05((x-7,86)²-95,776

0=-0,05(x-7,86)²+752,827656   |-752,827656

-752,827656=-0,05(x-7,86)²

                       x=130,5651471

 

Hilde:

 

0=-0,045x²+0,756x+1,72

0=-0,045(x²-16,8x-38,2)

0=-0,045((x-8,4)²-108,782

0=-0,045(x-8,4)²+4,8952    |-4,8592

-4,8592=-0,045(x-8,4)²

               x=18,82

 

 

Vorgehensweise:

 

1. Zuerst setzen man f(x)=y=0, weil alle Punkte die x-Achse schneiden und somit keinen

y-Wert haben.

 

0=-0,04x²+0,756x+1,7 

 

2. Dann führt man eine quadratische Ergänzung durch.

 

0=-0,04x²+0,756x+1,7  Quadratische Ergänzung

0=-0,04(x²-18,9x-42,5)

0=-0,04((x-9,45)²-131,8025

0=-0,04(x-9,45)²+5,2721   

 

3. Dann löst man es mit Umformungen auf.

 

0=-0,04x²+0,756x+1,7  Quadratische Ergänzung

0=-0,04(x²-18,9x-42,5)

0=-0,04((x-9,45)²-131,8025

0=-0,04(x-9,45)²+5,2721    |-5,2721

-5,2721=-0,04(x-9,45)²           |:(-0,04)

131,8025=(x-9,45)²                      |

                x=20,93052699

                 x=-2,03

 

 

 

 

 

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Definition

Definition:

 

Die Schnittpunkte eines Funktionsgraph f(x) mit der x-Achse (y=0) nennt man

Nullstellen der Funktion f.

Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form f(x)=x²+px+q

 

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Zusammenfassung:

 

Die quadratische Funktion x²+px+q=0 hat die Lösung

Dies ist die sogenannte „P, q-Formel“ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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