Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -239-

 

Potenzfunktionen der Form f(x)=x^-n

 

Eine Funktion der Form f(x)=x^-n nennt man Hyperbel.

 

Wertetabellen:

 

n gerade:

 

x	y
-3	1/9
-2	¼
-1	1
0	--
1	1
2	0,25
3	1/9

 

n ungerade:

 

x	y
-3	- 1/3
-2	- ½
-1	-1
0	--
1	1
2	½
3	1/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Graphen:

 

n gerade:

 

 

n ungerade:

 

 

 

 

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Eigenschaften von Funktionen der Form f(x)=x^-n:

 

	n gerade	n ungerade
Definitionsbereich	R, aber ohne 0	R, aber ohne 0
Wertebereich	R+	R, aber ohne 0
Nullstellen	---------------------------------------	---------------------------------------
Sy	---------------------------------------	---------------------------------------
Quadranten	I und II	I und III
Symmetrie	Achsensymmetrisch zur y-Achse	Punktsymmetrisch zum Ursprung
Monotonie	x<0 steigend x>0 fallend	Streng monoton fallend
Zahlenpaare	P1 (-1; 1) P2 (1; 1)	P1 (-1; -1) P2 (1; 1)

 

Begründung, warum es keine Nullstellen gibt:

 

y=x^-2

0=x^-2

0=1/x²   |x²

0=1

 

y=x^-3

0=x^-3

0=1/x³   |x³

0=1

 

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Sy:

 

y=x^-2

y=0^-2

y=1/0²

 

y=x^-3

y=0^-3

y=1/0³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Potenzfunktionen der Form f(x)=x^-n

 

Beispiele:

 

1. n gerade

 

f(x)=x^-2-2

 

 

Der Graph wurde um 2 Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Asymptote: y=-2

 

f(x)=(x-1)^-2

 

 

Der Graph wurde um 1 Einheit entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

Asymptote: x=1

Asymptote: Gerade, die der Graph nie berührt!

 

 

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2. n ungerade

 

f(x)=x^-3-2

 

 

Der Graph wurde um 2 Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Asymptote: y=-2

 

f(x)=(x-1)^-3

 

 

Der Graph wurde um 1 Einheit entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

Asymptote: x=1

 

 

 

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Den Graph der n-ten Potenzfunktion der Form f(x)=(x-d)^-n+c erhält man, indem man die n-te Normalparabel zunächst um c Einheiten in Richtung der y-Achse und d-Einheiten in Richtung der x-Achse verschiebt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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