Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -189-

 

Anwendung der p, q-Formel

 

Anwendung der p, q-Formel

 

Lösen von quadratischen                 Nullstellen von                      Schnittpunkt von

Funktionen                                        Parabeln                                2 Parabeln

(ax²+bx+c=0)                                     (f(x)=ax²+bx+c)                     (f1(x) und f2(x) )

 

 

 

 

 

 

- durch a teilen                                     - f(x)=0 setzen                           - f1(x)=f2(x)= setzen

                                                             - durch a teilen                           - auf die Form x²+px+q          

                                                                                                                 bringen

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                             x 1, 2 sind die                      

                                                                                                     Koordinaten der Schnittpunkte

                                                                                           x 1, 2 in f1(x) oder f2(x) einsetzen à

                                                                                           y-Koordinate

                                                     p, q-Formel benutzen

Lösungsmenge                                          Nullstellen                                  Schnittpunkte (x ; y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -190-

 

1. Bestimme die Schnittpunkte der Parabeln a) f(x)=- ½ x²+x+4,5 und b) f(x)=2x²+12x+18.

 

1. Zuerst setzt man die beiden Funktionen gleich.

 

Gleichsetzen von beiden Funktionen

 

f1(x)=f2(x)

 

à - ½ x²+x+4,5=2x²+12x+18

 

2. Danach löst man es mit Umformungen auf.

 

- ½ x²+x+4,5=2x²+12x+18   |-4,5

        - ½ x²+x=2x²+12x-13,5  |+ ½ x²

                     x=2,5x²+12x-13,5   |-x

                     0=2,5x²-11x-13,5

 

3. Nun wendet man die p, q-Formel an.

 

0=2,5x²-11x-13,5   |:2,5

0=x²-4,4x-5,4

 

p=-4,4

 

q=-5,4

 

 

à x-Werte der Schnittpunkte

 

4. Nun setzt man die x-Werte in die beiden Funktionen ein.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -191-

 

Aufgabe:

 

1. Bestimme die Schnittpunkte der Parabeln a) f(x)=- ½ x²+x+4,5 und b) f(x)=2x²+12x+18.

 

Lösung:

 

1. Zuerst setzt man die beiden Funktionen gleich.

 

Gleichsetzen von beiden Funktionen

 

f1(x)=f2(x)

 

à - ½ x²+x+4,5=2x²+12x+18

 

2. Danach löst man es mit Umformungen auf.

 

- ½ x²+x+4,5=2x²+12x+18   |-4,5

        - ½ x²+x=2x²+12x-13,5  |+ ½ x²

                     x=2,5x²+12x-13,5   |-x

                     0=2,5x²-11x-13,5

 

3. Nun wendet man die p, q-Formel an.

 

0=2,5x²-11x-13,5   |:2,5

0=x²-4,4x-5,4

 

p=-4,4

 

q=-5,4

 

 

 

à x-Werte der Schnittpunkte

 

4. Nun setzt man die x-Werte in die beiden Funktionen ein.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -192-

 

1. Bestimme die Schnittpunkte der Funktion a) f(x)=- ¼ x²-x+2 und b) f(x)=- 1/3 x²-2x+3.

 

1. Zuerst setzt man die beiden Funktionen gleich.

 

Gleichsetzen von beiden Funktionen

 

f1(x)=f2(x)

 

à - ¼ x²-x+2=- 1/3 x²-2x+3

 

2. Danach löst man es mit Umformungen auf.

 

- ¼ x²-x+2=- 1/3 x²-2x+3  |-2

     - ¼ x²-x=- 1/3 x²-2x+1  |- ¼ x²

               -x=- 7/12x²-2x+1       |+x

                  0=- 7/12x²-1x+1 

                  0=

 

3. Nun wendet man die p, q-Formel an.

 

0=- 7/12x²-1x+1      |:(-7/12)

0=x²+12/7x-12/7

 

x1=0,442809838

 

x2=-3,871381267

 

f(x)=1,6062103

f(x)=9,618036355

 

à x-Werte der Schnittpunkte

 

4. Nun setzt man die x-Werte in die beiden Funktionen ein.

 

f(x)=1,6062103

f(x)=9,618036355

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -193-

 

1. Bestimme die Umkehrfunktion und die Definitionsmenge.

 

Vorgehensweise:

 

1. Zuerst bringt man die Form f(x)=x²-4x+3 in die Scheitelpunktsform

 

f(x)=x²-4x+3

    y=(x-2)²-1 

 

2. Danach löst man es nach x auf.

 

 

3. Nun tauscht man x und y.

 

 

 

 

 

 

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