Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -140-
Allgemeine quadratische Funktion
f(x)= ax2 + bx
+ c
quadratisches lineares konstantes
Glied Glied Glied
Für die Koeffizienten a, b, c gilt: a, b, c, 
Allgemeine quadratische Scheitelpunktsform
f(x)=a(x-d)2+e mit S (d; e)
Aufgabe:
Bestimme f1(x) und f2(x).
1) S (1; 4), P (3; 0)
2) S (-1; -5), P (3; 11)
Lösung:
1)
f(x)=a(x-1)2+4
0=a(3-1)2+4
0=a
4+4 |-4
-4=4a |:4
a=-1
f(x)=-(x-1)2+4
2)
f(x)=a(x+1)2-5
11=a(3+1)2-5
11=4a-5 |+5
16=16 |:16
a=1
f(x)=(x+1)2-5
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -141-
Vorgehensweise:
1. Zuerst setzt man den Scheitelpunkt in f(x)=a(x-d)2+e
ein, bei dem S (d; e) ist.
f(x)=a(x-1)2+4
2. Dann setzt man den Punkt P ein.
0=a(3-1)2+4
3. Nun rechnet man es mit Umformungen aus.
f(x)=a(x-1)2+4
0=a(3-1)2+4
0=a4+4
|-4
-4=4a |:4
a=-1
f(x)=-(x-1)2+4
So schnell kann man die
Funktionsvorschrift aus einem Punkt und dem Scheitelpunkt berechnen… J
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -142-
Aufgaben / Lösungen:
1) Bestimme den Scheitelpunkt S.
a)
f(x)=2x2-20x+45
=2(x2-10x+22,5)
=2((x-5)2-2,5)
=2(x-5)2-5
S (5; -5)
x=5
b)
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -143-
Aufgaben / Lösungen:
1) Zeichne Rechtecke, bei denen gilt:
U=16 cm A=12 cm2
2 5
6 36 6
3 3
2
A=12
cm² 5 A=15 cm2
4
4 4
4
A=16 cm2
Nur bei dem grauen gilt es!
Beweis:
A=ab U=2a+2b
A=a(8-a)
A=a2+8a
U=2a+2b |-2a
U-2a=2b |:2
½ U-a=b
b=8-a
A=-a2+8a
A=-1(a2-8a)
A=-1((a-4)2-16)
A=-1(a-4)2+16
S (4; 16)
a=4
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -144-
Vorgehensweise:
1. Der Flächeninhalt A des Rechtecks.
2. A=ab (a, b sind die Seitenlängen des
Rechtecks)
3. 2a+2b=16
4. b=8-a
5. A=a(8-a)
A=-a2+8a
6. aà-a2+8a oder xà-x2+8a (x=a)
Die Funktion ordnet jeder Seitenlänge a bzw. x den
Flächeninhalt des Rechtecks zu.
7. Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Die 2.
Koordinate des Scheitels ist deshalb der größte Funktionswert.
A=-a2+8a
A=-1(a2-8a)
A=-1((a-4)2-16)
A=-1(a-4)2+16
S (4; 16)
a=4
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